Альманах
  Главная страница

 

Выпуск: N 7\8 (31\32), июль-август 2005 г

Время, вперед! Россия в XXI веке

Тензорный метод и физическая экономика

А.Е. Петров

Измеримость величин в экономике обеспечивают бухгалтерский учет и статистика. Координатами измеряемых величин служат позиции Плана счетов бухгалтерского учета и финансовой отчетности. В дискуссиях о переходе на международные стандарты отчетности в России понятие МСБУ – международные стандарты бухгалтерского учета, сменилось на МСФО – международные стандарты финансовой отчетности. Однако финансовая отчетность не предполагает учета материальных потоков в энергетическом выражении. Таким образом, показатели отчетности будут продолжать зависеть от динамики курсов валют, инфляции, других монетарных факторов, и не в полной мере отразят протекающие в системе процессы.
Тензорный метод двойственных сетей позволяет связать процессы и структуру. В том числе изменение измеримых величин описания процессов физической экономики, с изменением структуры хозяйства. Данный метод основан на новом инварианте преобразования структуры двойственных сетей, который выражает закон сохранения потока энергии.

 

***

Тензорный метод и физическая экономика

А.Е. Петров

доктор технических наук, академик РАЕН

директор аналитического центра информационного агентства “Мобиле”

Современная экономика является сложной системой взаимодействия природы, общества и человека. В этой системе определяющую роль играет структура хозяйственных связей. Связи постоянно изменяются под действием локальных и глобальных перемен, которые вызваны динамикой ресурсов, спроса, производства, НТП, другими факторами экономического развития. Закон развития человечества, открытый выдающимся отечественным ученым П.Г. Кузнецовым, состоит в не убывании темпов роста мощности в год на каждого человека. В соответствии с данным законом необходим гармоничный рост трех основных составляющих хозяйственной деятельности, к которым относятся производство, товарные рынки, финансовая система.

Управление устойчивым развитием системы Природа – Общество – Человек требует расчета изменений процессов при изменении структуры связей, сравнения результатов расчета различных вариантов. Это необходимо для формирования оптимальных управляющих воздействий, а также для контроля результатов оказанных воздействий.

Процессы в экономике характеризуют величины трех типов:

Стоимостные оценки продуктов отражают энергетические и материальные потоки в системе. Изменение величины откликов связано не только с изменением воздействий и “материала” элементов, но также структуры связей элементов.

Состояние системы, параметры откликов в элементах, которые характеризуют это состояние, могут меняться при изменении воздействий на систему, при изменении параметров материи самих элементов, а также при изменении структуры соединений элементов.

Для проектирования устойчивого развития необходим расчет и анализ изменения состояния процессов в системе при изменении структуры связей ее элементов, даже если воздействия и сами элементы остались прежними. В частности, такие задачи возникают при анализе и прогнозе последствий разрушения или создания экономических союзов глобального или регионального масштаба. Например, при разделении экономической системы СССР на 15 слабо связанных подсистем (независимых государств). Либо при создании связанных экономических систем, таких, как ЕС-Россия, Евроазиатские союзы, Россия-США, перспективы расширения ВТО, в частности, вступление России в ВТО и т.д. Такого рода расчеты необходимы для формулирования, изменения, отстаивания позиций на переговорах, связанных с изменением хозяйственных связей. Необходима оценка влияния изменения структуры связей на динамику развития мировой экономики.

Взаимодействие процессов и структуры, таким образом, это и проблема связи части и целого. Существующие математические методы предназначены для расчета либо процессов, либо структуры систем. Представление процессов измеримыми величинами повышает прозрачность сведений о состоянии и динамике развития экономической системы для всех участников мирового хозяйства. Это открывает перспективы развития, позволяет оценить, контролировать меру ответственности каждого участника хозяйственного процесса и тем самым снизить напряжение геоцивилизационных конфликтов.

Измеримость величин в экономике обеспечивают бухгалтерский учет и статистика. Координатами измеряемых величин служат позиции Плана счетов бухгалтерского учета и финансовой отчетности. В дискуссиях о переходе на международные стандарты отчетности в России понятие МСБУ – международные стандарты бухгалтерского учета, сменилось на МСФО – международные стандарты финансовой отчетности. Однако финансовая отчетность не предполагает учета материальных потоков в энергетическом выражении. Таким образом, показатели отчетности будут продолжать зависеть от динамики курсов валют, инфляции, других монетарных факторов, и не в полной мере отразят протекающие в системе процессы.

Тензорный метод двойственных сетей позволяет связать процессы и структуру. В том числе изменение измеримых величин описания процессов физической экономики, с изменением структуры хозяйства. Данный метод основан на новом инварианте преобразования структуры двойственных сетей, который выражает закон сохранения потока энергии.

Тензорный метод в геометрии и физике

…Я взглянул, и вот, конь вороный, и на нем всадник,

имеющий меру в руке своей.

Откровения Святого Иоанна Богослова, глава 6

Измерения компонент объектов и преобразование их координат играют важную роль для применения тензорного метода в теории систем, в частности, в экономике.

Суть тензорного метода состоит в признании инвариантности объекта в пространстве (вектора, многомерного объема в геометрии; измеряемой величины в физике, технике или экономике). Реальный объект существует в пространстве независимо от измерений со стороны наблюдателя. Наблюдатель в заданных им системах координат измеряет объект с помощью введенной меры. Если компоненты объекта при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по линейным законам, то это является признаком измеримости объекта и такой объект называется тензором.

Если компоненты тензора ненулевые в одной системе координат, то они будет ненулевые в любой системе координат. И, наоборот, если компоненты тензора нулевые в одной системе координат, то они будут нулевые в любой системе координат. Таким образом, при изменении координат реальный объект не исчезает, и не возникает из ничего. При изменении системы координат, измеряемые компоненты объекта могут меняться по двум законам:

Каждая независимая координата соответствует одному измерению пространства. Факт наличия нового измерения в пространстве определяется его новым качеством – независимостью от остальных измерений. Если координат выбрано больше, чем размерность пространства, то “лишние” координаты можно выразить через независимые, которые охватывают все измерения. Если координат выбрано меньше, чем размерность пространства, то некоторые элементы пространства окажутся неразличимыми, т.е. им будут соответствовать одинаковые значения уже выбранных координат.

Пусть в n-мерном пространстве задан базис одной системы координат ba = (b1,…, bn) и базис другой системы координат kb = (k1,…, kn). Преобразование компонент одного базиса в другой осуществляется по формуле kb = Cab ba, где Cab - матрица преобразования, в элементах строк которой находятся коэффициенты, которые показывают выражение каждого вектора нового базиса через векторы старого базиса.

Произвольный вектор d выражается компонентами db в одной системе координат как разложение по координатам d a = db 1 b1,…, dbn bn = dba ba, а в другой системе координат компонентами dk как db = dk1 k1,…, dkn kn = dkb kb.

При переходе из системы координат b в систему координат k вектор d остается прежним, т.е. инвариантным. Это означает, что можно приравнять его разложения в этих системах: dkb kb = dba ba. Подставим сюда формулу преобразования векторов базиса, тогда получим, что dba ba = dkb Cab ba, откуда следует, что dba = dkb Cab. Или, выражая компоненты вектора d в новой системе координат, получим dkb = (Cab) -1t dba = Aab dba, где матрица преобразования Aab обратная и транспонированная (ортогональная) по отношению к матрице преобразования векторов базиса. Таким образом, компоненты произвольного вектора преобразуются контравариантно по отношению к преобразованию векторов базиса. Произведение ортогональных матриц дает единичную матрицу Cab Aab = I.

В общем виде тензор – это геометрический объект в пространстве n измерений, который в каждой точке задан (p + r) параметрами-функциями, имеющими n проекций-компонент по каждой оси координат:

.

При этом p компонент преобразуются как ковариантные, т.е. матрицей Ca`a, а r – как контравариантные – обратной матрицей Ca`a. Формула преобразования тензора T, p раз ковариантного и r раз контравариантного, имеет вид:

Таким образом, при переходе от одной системы координат к другой компоненты тензора преобразуются линейно и однородно, при этом закон преобразования компонент определяет тип тензора, а общее число индексов называется его рангом (валентностью).

Базис системы координат может быть “прямой”, т.е. состоять из набора независимых единичных векторов, касательных к линиям координат. При изменении системы координат векторы прямого базиса преобразуются ковариантно; обозначаются, например, ba. Базис системы координат может быть “взаимный”, т.е. по координатным гиперплоскостям, ортогональным к линиям координат, и определяться касательными векторами к данным гиперплоскостям. При изменении системы координат векторы взаимного базиса преобразуются противоположно к векторам прямого базиса, т.е. контравариантно; обозначаются, например, ba.

Прямой и взаимный базисы равноправны, произвольный вектор можно разложить по векторам любого из них. Значения компонент вектора (проекций) будут при этом различны. Любой вектор в косоугольных координатах на плоскости имеет компоненты четырех типов, относящихся к прямому и взаимному базисам. Это контравариантные и ковариантные компоненты вектора в прямом базисе, а также ковариантные и контравариантные компоненты во взаимном базисе.

Таким образом, геометрический объект можно представить (измерить) в системах координат контравариантными и ковариантными компонентами в прямом и взаимном базисах. Значения компонент для разных систем координат меняются, но объект остается прежний (пока с ним самим не происходит изменений). В геометрии такой подход называется пассивной точкой зрения на преобразование координат; на этом построен тензорный анализ.

Линии координат имеют единичную размерность, ортогональные им гиперплоскости в n-мерном пространстве имеют размерность (n-1). Таким образом, прямой и взаимный базисы дополняют друг друга до полного пространства. Вообще говоря, можно представить себе в многомерном пространстве другие пары взаимных координат: 2-мерные элементы и (n-2)–мерные, 3-мерные элементы и (n-3)–мерные, и т.д. Совокупная размерность (геометрическая) каждой пары составляет полную размерность рассматриваемого n-мерного пространства.

Следует отметить исходную противоречивость математического пространства и физического пространства. Математическое пространство есть множество однородных элементов, объектов. Например, пространство точек, тогда все отношения могут возникать только между точками. Или пространство векторов, тогда все отношения могут возникать только между векторами. Если есть объекты, неоднородные с элементами данного пространства, то следует вводить пространство новых объектов, а затем рассматривать отношения между этими пространствами. В физическом пространстве совместно существуют и взаимодействуют различные объекты, обладающие как разными геометрическими размерностями (линейные, плоские, объемные), так и разными физическими размерностями (масса, заряд, энергия, мощность и т.д.).

Выход находят в понятии математической модели. Если модель включает в себя два или более класса объектов, то вводят системы отсчета для каждого класса. Получаемое в результате множество систем отсчета называется системой мер, изменение которой включает в себя преобразование координат “пассивного” типа для каждого класса объектов.

Возможность измерения в пространстве вводится через понятие метрики, которое обобщает понятие масштаба измерения. В простейшем случае, для этого необходимо задать единичный масштаб по каждой оси координат, т.е. величину некоторых векторов считают единицей измерения. Величина компонент других объектов измеряется по отношению к единичным векторам. Введение масштаба измерения в полном пространстве требует учета совокупности элементов, составляющих полную размерность, т.е. каждый масштаб по одномерной линии координат должен дополняться масштабом по гиперплоскости, соответствующей данной линии.

Отношения между прямыми, кривыми линиями, поверхностями, гиперплоскостями составляют структуру пространства; в этих отношениях понятие измерения, меры само по себе не требуется. Метрические отношения между элементами пространства вводятся, по сути, искусственно, однако они вводятся потому, что соответствующие отношения существуют в физическом пространстве.

Из понятий линейной независимости векторов, базисов, ковариантных и контравариантных законов преобразования не следует понятие расстояние между двумя точками векторного пространства. Это обстоятельство отмечал Иммануил Кант, рассуждая о различии между синтетическими и аналитическими суждениями. “Что прямая линия есть кратчайшая между двумя точками, это – синтетическое понятие, так как мое понятие прямого не содержит ничего о величине, а содержит только качество. Понятие кратчайшего, следовательно, целиком прибавляется, и никаким расчленением не может быть извлечено из понятия прямой линии. Здесь, следовательно, необходимо прибегнуть к помощи созерцания, посредством которого только и возможен синтез”. [И. Кант, Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей появиться как наука. 1783, соч., т. 4 (1), с. 83].

В геометрии метрика вводится через понятия скалярного произведения и двойственного пространства. Герман Вейль подчеркивает, что двойственное пространство вводится дополнительно, синтезируется с ранее введенными понятиями, а не выводится из них аналитически. Этот шаг необходим для введения понятия абсолютной величины вектора с помощью квадрата абсолютной величины [Г. Вейль, Теория групп и квантовая механика. 1986, с. 30]. Квадрат абсолютной величины вектора r есть действительное число r2, которое в случае евклидовой геометрии является суммой квадратов его компонент, а в общем случае – это положительно определенная эрмитова форма от компонент вектора r.

Выбранная мера вводится через метрический (фундаментальный) тензор. Он определяется как произведение локальных векторов прямого базиса, дважды контравариантный тензор gab = ba b b, или векторов взаимного базиса, дважды ковариантный тензор gab = ba b b = (gab)-1. При этом скалярное произведение векторов (строка на столбец) дает результатом число. Произведение векторов, когда производится умножение столбца на строку, дает результатом матрицу. При изменении системы координат метрический тензор преобразуется двукратным умножением на соответствующую матрицу преобразования.

Наиболее простым примером является метрический тензор, представленный единичной матрицей. Ему соответствует декартово пространство с прямоугольными координатами, в котором ковариантные и контравариантные компоненты не различаются.

Метрический тензор преобразует ковариантные компоненты в контравариантные компоненты, как векторов базиса b b, так и произвольно заданных векторов r = ra b a, и наоборот. В тензорном анализе данная операция называется подниманием и опусканием индексов.

b b = gab ba, r b = gab ra, или ba = gab b b, ra = gab r b

По сути, преобразование ковариантных компонент произвольного вектора в контравариантные компоненты есть общее представление уравнений описания процессов. Процессы в системе рассматриваются как отклик системы на приложенное воздействие, преодолевающее сопротивление материи элементов системы. Характеристики материи элементов представляет метрический тензор. Если воздействием являются ковариантные компоненты вектора потока (энергии) в системе, то откликом являются контравариантные компоненты. Наоборот, если воздействием являются контравариантные компоненты, то откликом являются ковариантные компоненты.

Важной характеристикой произвольного вектора в пространстве, который может представлять, например, вектор потока энергии в системе, является его абсолютная величина (длина). Квадрат величины вектора равен сумме произведений его ковариантных и контравариантных компонент по каждой оси координат.

r2 = S ra rb

Ковариантные и контравариантные компоненты имеют обратные законы преобразования, поэтому квадрат величины вектора является инвариантом относительно преобразования координат. Таким образом, инвариант величины вектора представлен произведением его ковариантных и контравариантных компонент, а метрический тензор выглядит как “частное” от “деления” ковариантных и контравариантных компонент.

В электрической цепи мощность равна сумме произведений тока и напряжения по всем ветвям (квадрат величины вектора потока энергии), а сопротивление (импеданс) как метрический тензор связывает в уравнении закона Ома напряжение и ток, когда они играют роль воздействия или отклика. При изменении структуры связи ветвей в цепи вектор тока преобразуется по контравариантному закону, а вектор напряжения преобразуется по ковариантному закону. Первым это заметил Г. Вейль в 1923 г., а систематически применил в тензорном анализе сетей Г. Крон в 1939 г., который затем применил тензорный метод для расчета сложных систем многих предметных областей.

Квадрат величины вектора инвариантен относительно преобразования координат, отсюда можно было предположить, что мощность в электрической цепи инвариантна при изменении соединения ветвей. В реальности этого не происходит, мощность меняется. Например, при соединении двух ветвей с источниками навстречу друг другу мощность уменьшается пропорционально разности мощности двух источников, а при соединении друг за другом, мощность увеличивается пропорционально сумме двух источников. Разрешить это противоречие удалось автору, который обнаружил, что мощность постоянна при изменении структуры связей двух цепей с двойственной структурой. Это открытие стало основой разработанного затем тензорного метода двойственных сетей.

Особенности тензорной методологии в теории систем

Применение тензорного метода в теории систем имеет ряд особенностей, которых нет в геометрии и физике. Начало применению тензоров в этой области положили работы американского ученого и инженера Г. Крона в 30-60-х годах. Развитию и приложению способствовали работы отечественных ученых Л.Т. Кузина и П.Г. Кузнецова в 60-90-х годах, а также их учеников, к которым относит себя автор. В 1978 г. вышел русский перевод фундаментальной работы Г. Крона “Тензорный анализ сетей” (1939 г., второе издание с новым предисловием – 1965 г.) под редакцией Л.Т. Кузина и П.Г. Кузнецова. Приходилось убеждать издателей в необходимости и актуальности перевода старой книги; помогло наличие второго издания. Работа над переводом, в которой автор активно участвовал, продолжалась не один год, и основной проблемой были новые понятия, аналогов которым не было не только в русском языке, но и среди известной научной терминологии.

Первая особенность – появляется структура систем. Под структурой понимается совокупность связей элементов в системе. Связи образуют выделенные направления в пространстве, которое в геометрии считается однородным и изотропным. Получается пространство-структура, в котором координатами являются замкнутые и разомкнутые пути (последовательности элементов). Пути представляют собой каналы, маршруты возможного распространения потоков энергии, т.е. процессов. Появляются понятия простейшей сети (системы) из отдельных, свободных элементов (у Крона – primitive network, мы это долго переводили как “примитивная” сеть) и связанной сети из соединенных элементов.

Разделение пространства-структуры на подпространства замкнутых и разомкнутых путей, размерность которых меняется при соединении и разъединении, делает матрицы преобразования путей прямоугольными, т.е., не имеющими обратных и не образующих такую группу, как в геометрии. Именно это было предметом жесткой критики метода Крона на протяжении десятилетий. Метод двойственных сетей с новым инвариантом изменения структуры (преобразования путей), разработанный автором, обеспечивает моделирование, расчет, исследование сложных систем разных предметных областей. Этот метод можно рассматривать как основу теории структуры. Инвариант двойственности обеспечивает групповые свойства преобразований при соединении и разъединении элементов структуры.

Вторая особенность – обобщение понятия тензора в методологическом, философском смысле для разделения на классы и моделирования сложных систем с целью создания единого метода их исследования. В качестве тензора можно рассматривать не только геометрические объекты, но также сами системы как абстрактное понятие. Здесь рассматривается развитие постулатов обобщения Г. Крона.

Системы разделяются на классы по количеству и сложности процессов, по размерности элементов структуры. В один класс объединяются системы с одинаковым количеством и размерностью (физической) протекающих в таких системах процессов, количеством и размерностью (геометрической) элементов системы. Для систем одного класса вводятся понятия обобщенной системы, эталонной системы.

Абстрактное понятие обобщенной сложной системы – это категория, объединяющая процессы (метрика, воздействия, отклики) и структуру (включая преобразования соединения и разъединения). Обобщенная система класса – это категория или “тензор”, объединяющая системы с аналогиями процессов и структуры, а конкретные системы данного класса – это ее “проекции” в частные координаты разных предметных областей.

Эталонная система – это одна из систем класса, в описании которой представлены и процессы и структура (например, электрическая цепь, где закон Ома описывает процесс, а законы Кирхгофа – структуру). Такая система может использоваться для построения моделей других систем данного класса на основе аналогий процессов и структуры.

Крон применял электрические цепи в качестве эталонной системы для моделирования систем разных предметных областей, например, для класса систем, в которых процессы можно представить уравнениями вида x = A y, а структуру – одномерными ветвями. Он построил модели в виде эквивалентных цепей (одномерных сетей) для электрических машин и электроэнергетических систем, для уравнений Максвелла, Шредингера, Навье-Стокса, лопаток турбин, строительных конструкций, ядерного реактора, и т.д.

Электрические машины имеют два типа процессов – электрические и магнитные, связанные через механический процесс вращения ротора, которое создает изменение магнитного поля. Структура машин состоит из одномерных проводников тока и двумерных поверхностей, через которые распространяется магнитный поток. Эти двумерные сети есть простейший пример многомерной полиэдральной сети, соединяющей элементы разной размерности, которые соответствуют симплициальному комплексу комбинаторной топологии.

Обобщенной системой такого класса стала обобщенная машина Г. Крона, проекциями которой в разные структуры являются все другие электрические машины. В 30-х годах электрические машины были наиболее сложными системами, для которых создание единой теории считалось невозможным. Для каждого типа машины создавалась своя теория, порой не одна. Крон создал единую теорию электрических машин, которую сначала критиковали, а теперь считают классикой. В трудах Японской ассоциации прикладной геометрии, коллектив которой под руководством проф. К. Кондо в 50-60-х годах развивал применения тензорного метода в технике и экономике, статья Крона 1934 года “Нериманова динамика вращающихся электрических машин” названа эпохальной (epoch making paper).

Многомерные полиэдральные сети с возбуждением электромагнитными волнами, магнитогидродинамическими волнами Г. Крон в конце 60-х годов применял для создания самоорганизующегося волнового автомата и проведения многомерных кривых по точкам экспериментальных данных. Волновой автомат Крона на опубликованных в ряде статей результатах численных расчетов демонстрировал свойства самоорганизации, т.е. его поведение менялось в сторону компенсации внешних воздействий. Проф. Дж. Линн из Ливерпуля и его сотрудники пытались повторить эти работы, однако им не удалось получить режим самоорганизации. Эта часть работы Крона остается подобной неразгаданным секретам старых мастеров. Возможно, что ключ лежит в инварианте двойственных сетей.

Полиэдральные сети остаются наименее разработанной областью применения тензорного метода в теории систем. Можно ожидать, что значимые модели для расчета и управления экономической системой с целью проектирования устойчивого развития будут относиться к классу именно полиэдральных сетей, поскольку они должны объединять сети разных размерностей (физических и геометрических) – реального производства и товарных рынков с финансовой системой, включая фондовые рынки капиталов.

Однако для этих целей должна применяться не одна из систем данного класса, которую можно рассматривать как эталонную систему, а абстрактные двойственные сети. Абстрактный математический аппарат обеспечивает универсальную применимость любого метода, не привязанного к физическому содержанию конкретной предметной области. Вместе с тем абстрактный аппарат должен иметь экспериментальное происхождение от измеряемых величин реального мира. Таким образом, метод двойственных сетей уже сейчас можно применять как инструмент исследования и расчета одного класса сложных систем, структурные модели которых можно представить одномерными сетями.

Трактовка тензора, как обобщенного понятия целого класса систем, понятий, объектов аналогична тому, как различаются в философии понятия абстрактного и конкретного. Например, есть обобщенное понятие Яблоко. Есть различные сорта яблок как понятия, но они являются сами лишь проекциями понятия Яблоко. Есть конкретное яблоко данного сорта, которое физически измеримо, съедобно, но является проекцией в реальность, представителем данного сорта яблок.

Координаты яблока на столе – в системе координат с началом в одном углу стола, или в другом углу стола, или в углу комнаты отличаются друг от друга. Однако преобразование значений этих координат при переходе от одной системы координат к другой системе координат позволяет рассматривать съедобное яблоко как тензор, инвариант относительно группы преобразований координат в пространстве комнаты (или всей планеты).

Кроме того, яблоко – это еще и процесс движения в пространстве и времени от семечка до яблочного джема и его употребления в пищу. В этом процессе есть не только разомкнутые пути, но и замкнутые (циклы), связанные с посадкой семечка в землю и выращиванием яблони, на удобрение которой могут пойти результаты потребления джема.

Марина Цветаева в очерке “Борис Пастернак и Владимир Маяковский” пишет, что эти два имени поставлены рядом, потому что в истории поэзии России они стоят рядом. “…ибо поэзия не дробится ни в поэтах, ни на поэтов – она во всех своих проявлениях одна, одна, в каждом – вся, так же как по существу нет поэтов, а есть поэт, один и тот же с начала и до конца мира, сила, окрашивающаяся в цвета данных времен, племен, стран, наречий, лиц, проходящих через нее, силу, несущуюся как река теми или иными берегами, теми или иными небесами, тем или иным днем”. То есть этот абстрактный поэт есть инвариант, проекции которого могут принимать разные значения в “системах координат” (или представителях данного класса) – конкретных поэтах.

Третья особенность – разделение системы на совокупность элементов с их метрическими и структурными свойствами, и процессы, протекающие в этих элементах при возбуждении системы, с их воздействиями и откликами. Сеть сама по себе, в том числе многомерная, состоящая из связанных элементов, обладает свойствами структуры, преобразования путей и инвариантом двойственности. Если при этом элементы имеют метрические характеристики, т.е. матрица метрического тензора отличается от единичной матрицы, то преобразования структуры усложняются, но в рамках того же инварианта, просто в уравнении инварианта появляются метрические матрицы. Крон называл такую невозбужденную сеть “мертвая” сеть (dead network).

Автор показал, что на этом этапе можно до некоторой степени использовать пути с разрывами и ветвлением в качестве базисных путей для выражения других путей.

Когда сеть возбуждена, т.е. на нее наложено, или подано воздействие, например, в виде внешнего потока энергии, или внутреннего источника энергии, то в элементах возникают значения откликов и воздействий как ковариантных и контравариантных компонент этого вектора. Преобразования компонент наложенного вектора при изменении структуры точно также подчиняются инварианту двойственности, но уравнение инварианта связывает уже не матрицы, а векторы. Сам инвариант приобретает, например, форму преобразования компонент воздействия в свободных ветвях в компоненты отклика в связанных ветвях. Совокупность матриц преобразования и метрики перед вектором воздействия автор называет “матрица решения”, поскольку умножение на нее преобразует заданное воздействие в искомый отклик, т.е. в решение задачи расчета сети.

Оказалось, что в возбужденной сети могут существовать только непрерывные пути без разветвлений. Они могут быть разомкнутые (координаты для внешнего возбуждения) или замкнутые (координаты для внутреннего возбуждения), но именно непрерывность гарантирует их однозначность в качестве каналов распространения потоков энергии.

Данные особенности являются основой технологии применения тензорного метода в теории систем.

Измерения и структура

Наличие структуры приводит к необходимости более детально рассмотреть свойства воздействий и откликов, как измеримых величин потоков в сложной системе. В приложениях к физике и теории систем под тензором понимается не просто геометрический объект, а реальная измеримая величина, которая дана нам в ощущениях через измерение. Тензорная величина однозначно определяется своими компонентами в заданной системе координат, которая должна охватить все независимые направления-размерности в пространстве, где производится измерение. В этом смысл определения тензора, как функции, которая характеризуется многими значениями в каждой точке.

Измерение производится через введение линии, на которой фиксируем четыре точки: точки начала и окончания единицы измерения, или эталона измерения, (их надо определить); точки начала и окончания положения объекта на данной шкале, или по отношению к данной шкале (проектирование на данную ось координат). Вместе с тем величины, характеризующие вектор потока энергии, можно рассматривать как его компоненты в прямом и взаимном базисах физического пространства.

Измерение характеристик процессов в реальной системе для одних величин производится в одной точке (например, электрический ток) – этому соответствует прямой базис, а такие величины называют продольными величинами. Измерение для других величин производится в двух пространственно различных точках, как разность значений результатов измерения (например, электрическое напряжение измеряется как разность значений потенциала между эквипотенциальными поверхностями). Этому соответствует взаимный базис (две гиперплоскости, ортогональные к оси координат, как это представлено в книге Схоуттена “Тензорный анализ для физиков”), а такие величины называют поперечными.

В каждой предметной области произведение соответствующих пар продольных и поперечных величин имеет физическую размерность мощности (потока энергии). В терминах таблицы размерностей физических величин Бартини-Кузнецова это [L5 T-5]. Например, электрические ток и напряжение; в механике сила в точке и скорость (как разность положения тела в двух точках в единицу времени); в гидродинамике поток жидкости (объем в единицу времени) и давление; в термодинамике поток тепла и температура; поток массы и концентрация (химический потенциал) и т.д. Распределение размерностей в каждой паре различное, но произведение имеет размерность [L5 T-5]. Например, ток имеет размерность [L3 T-3], а напряжение – [L2 T-2]; давление – [L4 T-2], а поток жидкости – [L1 T-3], и т.д. Образно говоря, если мир сложен из одинаковых кирпичей потока энергии, то в разных предметных областях эти кирпичи состоят из разных блоков.

Продольные величины играют роль контравариантных компонент вектора, а поперечные величины – роль контравариантных компонент. Мощность представляет собой, таким образом, квадрат величины вектора, т.е. вектора потока энергии. Продольные и поперечные величины в описании процессов могут играть роль, как воздействий, так и откликов, но содержание этой роли зависит от структуры связей элементов системы, по которой распространяются и преобразуются потоки энергии.

Продольные и поперечные величины (переменные – variables) ввел F.A. Firestone в работе “Новая аналогия между механическими и электрическими системами” [J. Acoust. Soc. A. 4, 1933]. Данная работа упомянута в сборнике статей “Физическая структура в теории систем” [редакторы J.J. van Dixhoopn, F.J. Evans; AP, 1974]. Эпиграф к сборнику: “Удивительно, как мало существует первичных типов элементов, образующих строительные блоки всего разнообразия технических структур… Огромное разнообразие структур отличается только способом соединений…, а многообразие теорий только типом рассматриваемой гипотетической системы отсчета” [Габриэль Крон. “Тензоры для цепей”, 1942].

Структурные особенности отличают замкнутые и открытые системы по типу воздействий и откликов. Если потоки энергии заданы в замкнутых путях (контурах) сети, то воздействиями являются поперечные величины, а откликами – продольные. Если потоки энергии заданы в разомкнутых путях сети, то воздействиями являются продольные величины, а откликами – поперечные. Таким образом, физическая размерность величин воздействий и откликов меняется в зависимости от того, в структуре какого типа (замкнутых путях или разомкнутых путях) они заданы.

Например, в электрической цепи источники напряжения (воздействия) определяют токи (отклики) в контурах, замкнутых путях. Расчет цепи производится контурным методом Кирхгоффа. Все потоки, воздействия и отклики находятся внутри сети, которая представляет собой замкнутую систему.

Если заданы источники тока, то они определяют отклики-напряжения на разомкнутых путях (пары узлов). Расчет цепи производится узловым методом Кирхгоффа. Воздействия и отклики через узлы поступают в сеть извне и покидают сеть, которая представляет собой разомкнутую систему.

Так связаны замкнутые и открытые системы с характером измерения воздействий и откликов в системах координат подпространств замкнутых (контуров) и разомкнутых путей. В зависимости от этих условий системы независимых замкнутых и разомкнутых путей по очереди играют роль прямого и взаимного базисов.

Преобразование структуры и закон сохранения потока энергии

Любые пути (наборы соединенных ветвей) – это выбранные наблюдателем абстрактные системы координат. Реальные измерения производятся в отдельных элементах, ветвях сети. Через каждую ветвь можно провести произвольное число путей. Сумма числа независимых замкнутых путей и разомкнутых путей постоянна и равна размерности пространства, т.е. количеству элементов системы (в сети это число ветвей).

Различие состоит в том, что в физике размерность пространства постоянна при изменении координат. При изменении структуры систем размерность пространства (подпространства соответствующих путей) меняется. Замыканию разомкнутого пути соответствует размыкание замкнутого пути. При соединении и разъединении меняется число независимых замкнутых путей, и, естественно, разомкнутых путей. Меняется размерность подпространств: при соединении размерность подпространства замкнутых путей растет, для разомкнутых путей она уменьшается, а при разъединении наоборот. Матрицы преобразования базисов путей оказываются прямоугольными, они не имеют обратных матриц, т.е. не образуют группу в ее классическом понимании. Процедура соединения или разъединения становится вырожденной, если преобразование производится от меньшей размерности к большей размерности.

В результате становится неопределенным представление и расчет изменения параметров процессов при изменении структуры. Освальд Веблен писал: “То, что преобразование координат образует группу, является важнейшей аксиомой геометрии”. Изменение размерности подпространств в сети является причиной изменения мощности.

Как отмечалось выше, эта проблема решается потому, что существует инвариант преобразования структуры двух двойственных сетей, в которых каждому разомкнутому пути в одной сети соответствует замкнутый путь в другой сети, и наоборот. Этот инвариант можно рассматривать как сумму метрических тензоров двух двойственных сетей, образующих единое пространство; в совокупности таких сетей сумма разомкнутых путей и замкнутых путей постоянна при любой структуре. В простейшем случае невозбужденной сети, когда метрический тензор представляет единичная матрица, данный инвариант связывает матрицы преобразования C данной сети и двойственной сети A:

C (Ct C)-1 Ct + A (At A)-1 At = I.

Вид инварианта для неединичного метрического тензора и для компонент вектора в двойственных сетях подробно рассмотрен автором [А.Е. Петров, 1985, 1998]. Отметим здесь, что существование данного инварианта придает свойства группы преобразованиям координат-путей при изменении структуры двойственных сетей, обеспечивая любые соединения и разъединения, т.е. прямые и обратные преобразования. По сути, сеть – это единый объект, который состоит из двух частей с двойственной структурой, а части расположены в разделенных, параллельных, но “сцепленных” пространствах.

Существование нового инварианта позволило автору построить единый алгоритм для расчета изменения параметров процессов при любых изменениях структуры одномерных сетей [А.Е. Петров, 1998]. Эти результаты открывают путь к исследованию отношений процессов и структуры для многомерных сетей, построению соответствующих алгоритмов. Постоянство мощности двух двойственных электрических цепей при изменении их структуры является проявлением закона сохранения потока энергии.

Данный инвариант является логическим продолжением известной теоремы Нётер, которая устанавливает связь между инфинитезимальными симметриями функционала и законами сохранения для соответствующей системы уравнений Эйлера-Лагранжа, дающей необходимые условия экстремума функционала. Инвариантность функций Лагранжа различных физических полей относительно параллельных переносов и преобразований Лоренца (следствие однородности и изотропности пространства-времени Минковского) приводит по теореме Нётер к тензору энергии-импульса и тензору момента количества движения поля и к соответствующим им законам сохранения энергии, импульса и момента количества движения. [Мат. Энц., т. 3, стб. 1021-1023, 1982].

Закон сохранения потока энергии в большей степени является физико-структурным законом, чем законы сохранения импульса (связан с однородностью пространства), сохранения момента количества движения (связан с изотропностью пространства), сохранения энергии (связан с симметрией времени). Известные законы сохранения связаны со структурой однородного, т.е. в определенном смысле симметричного пространства. Закон сохранения потока энергии связан со структурами, которые возникают в пространстве, и эти структуры не являются ни однородными, ни изотропными. Вместо симметрии появляется двойственность, т.е. взаимное дополнение двух структур, только в совокупности образующих целое.

Вообще говоря, современные трактовки понятия вакуума предполагают расслоение физического пространства, наличия в нем структурных элементов, которые перестраиваются, например, при переходе внутрь адронов.

Технология применения тензорного метода в теории систем

Сложные системы разных предметных областей считаются столь различными, что кажется невозможным их исследование единым методом, с помощью единой теории. Такое же положение существовало с электрическими машинами в 30-х годах. Крон решил эту проблему с помощью тензорного метода. Задача состоит в том, чтобы получить метод исследования разных сложных систем с помощью одной системы, для которой метод расчета и исследования уже разработан.

Возможность построения моделей одних систем с помощью других систем на основе аналогий процессов и структуры является важной особенностью тензорного метода. Для этого необходимо разработать теорию взаимодействия процессов и структуры для одной, эталонной системы. Построение эквивалентных моделей других систем данного класса с помощью эталонной системы позволяет свести исследование разных систем к расчету одной системы. Таким образом, создается единый подход, единый метод расчета и исследования систем разных предметных областей, т.е. в определенном смысле теория систем.

Двойственные сети обеспечивают построение математических моделей сложных систем, не связанных с конкретным физическим содержанием эталонной системы, т.е. обладают более высокой степенью общности. Структурные свойства двойственных сетей обладают инвариантом, на котором основаны новые алгоритмы расчета изменения процессов при изменении структуры связей ветвей в сети. Для исследования и расчета сложных систем в других предметных областях необходимо преобразовать описание их процессов и структуры к виду описания сети, т.е. построить сетевую модель.

Сети разной размерности могут применяться для построения эквивалентных моделей тех предметных областей, которые им соответствуют, а затем исследовать на моделях свойства процессов и структуры, закономерности их преобразования.

Технология применения тензорного метода в теории систем следующая.

1. Приведение уравнений поведения системы к тензорному виду. Для этого необходимо записать и использовать полные отношения для структуры взаимодействия потоков всех величин в системе, т.е. воздействий, откликов и сопротивлений (метрики) элементов. Тензорный характер всех величин и уравнений обеспечивает линейность преобразования их компонент при изменении структуры, т.е. при изменении соединений элементов и/или ином выборе координат-путей в сети.

2. Построение сетевой модели с помощью аналогий между параметрами процессов и структуры исследуемой системы и двойственной сети. Установление соответствия между системой и сетью может дать три результата. Первый – соответствие установлено, значит, модель построена, и можно проводить на ней исследования с последующей интерпретацией результатов на системе. Второй – понятий сети недостаточно для отображения всех понятий системы, значит, модель не построена, система оказалась сложнее данной сети, и надо выбрать сеть более многомерную, с большим количеством параметров. Третий – соответствие установлено, но в сети оказались понятия, которым нет соответствия в системе. Это значит, что сеть оказалась понятийно богаче системы, по крайней мере, в той форме описания, в которой систему начали исследовать. Попытаться найти в поведении системы аналогии и интерпретации “свободным” понятиям, которые есть в сети, но которые не учтены в описании системы. Если это получится, то модель представит новые знания о системе, которые не были заложены в исходной постановке задачи.

Поиск аналогий системы и сети, построение сетевой модели – этап творчества и искусства сопоставления.

3. Сетевая модель получена. Производится расчет модели единым методом для всех систем данного класса. Расчет вариантов для разных видов воздействия и структуры связей. Расчет по частям с декомпозицией на произвольные подсистемы, анализ роли двойственных сетей, которые обеспечивают инвариантность преобразований, для исследования и расчета.

4. Интерпретация результатов расчета и анализа сетевой модели на исследуемой системе, расчеты вариантов развития, поведения системы для разных значений воздействия и возможных изменениях структуры. Применение сетевой модели для расширения знаний об исследуемой системе за счет большего количества понятий в такой модели, которая связывает описания процессов и структуры.

Возможно, что для исследования системы оказалось необходимым применить сети с элементами более высокой геометрической размерности (поверхности, объемы, многомерные гиперплоскости) и с большим количеством протекающих процессов, в которых физические размерности воздействий и откликов могут включать в себя различные пары для замкнутых и разомкнутых систем, для разных видов замкнутых и разомкнутых путей. И в этом случае все основные этапы технологического процесса исследования сложных систем тензорным методом по своей сути остаются прежними.

Применение тензорного метода в экономике

…И слышал я голос посреди четырех животных, говорящий:

Хиникс пшеницы за динарий, и три хиникса ячменя за динарий;

елея же и вина не повреждай.

Откровения Святого Иоанна Богослова, глава 6

Так в Библии говорится о необходимости измерений в экономике. Хиникс – это малая хлебная мера, которая измеряет овеществленную солнечную энергию, соизмеряя ее со временем человеческого труда, поскольку динарий – это монета, соответствующая дневной плате поденщику.

Системы координат в экономике. Измерение величин в экономике осуществляется через бухгалтерскую отчетность, в которой производится учет движения, поступления, расходования материальных и финансовых ценностей в деятельности хозяйствующего субъекта. Проблема соответствия отчетности и реальности стала чрезвычайно актуальной в процессе борьбы США за привлечение ресурсов на развитие опережающих технологий.

Контроль соответствия отчетности осуществляется в ходе ревизий и аудиторских проверок. Аудит подтверждает корректность отчетности субъекта для делового общества. Несоответствие отчетности и реальности может указывать на расходование инвестируемых средств не по назначению. Это приводит к потерям вложенных средств и вызывает протесты обманутых вкладчиков, как в России и Аргентине. Сокрытие реального положения дел ведет к банкротству крупнейших компаний, что наблюдалось в США в 2001-2002 гг.

Данные бухгалтерской отчетности хозяйствующих субъектов, данные о покупке и продаже товаров и услуг на внутреннем и внешнем рынках, агрегируются в статистические показатели. Статистика характеризует поведение экономической системы в целом, в отраслевых, территориальных и других разрезах. Совокупность данных, подобно значениям компонент геометрических объектов в системах координат, используется для анализа и прогноза, расчета последствий предполагаемых изменений и преобразований.

Измеримость величин. Поведение данной системы определяют три составляющих: реальный сектор производства товаров и услуг, товарные рынки, финансовый сектор. В СССР роль воздействия играл план развития народного хозяйства. В рыночной экономике воздействием на производство является спрос на товарных рынках. Финансовый сектор обеспечивает движение, оборот товаров и услуг. В современной экономике гипертрофировано возросли объемы кредитно-денежного оборота, вторичных долговых рынков по сравнению с реальным сектором, что стало причиной снижения мировых темпов роста.

Потоки денежных средств в наличной и безналичной форме отражают как оборот товаров и услуг, так и оборот кредитно-денежных потоков. Монетаризм считает кредитно-денежную политику определяющим фактором формирования экономической конъюнктуры. Монетарные методы в последние десятилетия стали основой управления производством. Однако эти методы не отражают физически измеримых величин производства, технологии преобразования потоков энергии. Денежные единицы выражают стоимости, как товаров, услуг, так и денежных средств (ставка банковского кредита), инструментов фондового рынка. Таким образом, единой мерой сравнивают как продукты реального производства, так и виртуального сектора финансовых услуг. Это позволяет использовать монетарные методы управления для перераспределения реальных ресурсов.

Мера денежной единицы зависит от назначения цены валюты по отношению к другой валюте. Это подобно напряжению, измеряемому как разность значений потенциала, которая зависит от назначения величины в одной точке, как в нулевом узле электрической цепи. Нулевая точка потенциала соответствует назначению курса валюты. Прочие стоимости зависят от назначения стоимости валюты, выбранной за точку отсчета. “Конкурс” валют разных стран за владение точкой отсчета выигрывает валюта страны с наиболее сильной экономикой. После войны это были США, которые производили 50% мирового ВВП. К 60-тым годам их доля снизилась до 25%, тогда, в 70-80-ые годы, на смену пришла “семерка” – около 65% мирового ВВП. Это приносит выгоду. Так, “семерка” могла согласованно эмитировать свои валюты примерно на 10% больше, чем реальное производство продуктов. Это позволило перераспределять ресурсы в пользу развитых стран. Такой “налог на неразвитость” составлял, по оценкам, 700-1000 млрд. долларов в год. Наибольший выигрыш от этого получали США, как самый крупный партнер в “семерке”.

В 90-тых годах механизм фондовых рынков, с обманом инвесторов за счет приукрашенных перспектив экономики США, фальсификации отчетности, часть которых вскрыта в последнее время, позволил привлечь свободные капиталы в огромных масштабах. Кроме того, развивающиеся страны получают за свои ресурсы готовую продукцию, которая за счет ножниц цен между сырьем и продуктами высокого передела обходится им дорого.

Технология применения тензорного метода в экономике в общих чертах не отличается от технологии, применявшейся Кроном и его последователями для исследования технических систем. Принципиальное отличие в том, что экономика, как система накопления и концентрации свободной энергии, относится к живым системам. В технических (неживых) системах происходит только рассеивание энергии, а в экономических (как и всяких живых) системах происходит не только рассеивание, но и накопление энергии. Историческая закономерность развития общества состоит в не убывании (возрастании) потока энергии, который приходится на каждого человека, например, в течение годового периода.

Физическая экономика определяет производство товаров и услуг в реальном секторе, которое обеспечивает существующие потребности населения и устойчивые темпы роста потребления на перспективу. Для измерения параметров производства и потребления определяется комплекс величин. Например, Ларуш предложил использовать для оценки экономических возможностей параметр производительности квадратного километра плодородной почвы – сколько человек может прокормить такой участок. Для проектирования устойчивого развития необходим расчет вариантов производства продуктов, потоков ресурсов, денежных средств, движения капитала на фондовых рынках, при разных вариантах структуры связей.

Таким образом, потоки продуктов и финансовые потоки связаны со структурой их расположения и взаимодействия. Это позволяет применять тензорный метод для решения задач взаимодействия процессов и структуры физической экономики.

В применении тензорного метода для физической экономики сложилось три этапа. Сначала В. Леонтьев построил модель “затраты-выпуск” для решения задачи межотраслевого баланса. Отраслями в такой задаче могут быть производственные отрасли, предприятия, звенья технологической цепи, а также страны и целые регионы. Эта модель применима в условиях стабильного развития экономики. При стабильных ценах и отсутствии резких колебаний на фондовых рынках межотраслевой баланс обеспечивает расчет объемов производства продуктов и потребления ресурсов, которые обеспечат заданные объемы потребления. Либо расчет объемов потребления, допустимого при заданных потоках добычи ресурсов, при существующих мощностях производства.

Обращение экономической матрицы для расчета данной модели стало проблемой. Задача Госплана, как известно, включала около 4000 показателей, а время ее расчета (одного варианта) было сопоставимо с самим периодом планирования, по истечении которого решение никому не нужно. По стране в целом было более 23 млн. показателей. Таким образом, провозглашение плановой экономики не было обеспечено вычислительными ресурсами.

Выход пытались найти в создании аналоговой или численной модели на основе физических аналогий. В 60-70-тых гг. Дж. Б. Деннис и Авондо-Бодино без особых успехов пытались найти аналогии данной задачи и электрической цепи.

Автор построил в 1977-1979 гг. модель задачи баланса в виде эквивалентной электрической цепи, которая стала первым примером, когда живая система (экономика), накапливающая энергию, представлена неживой системой, которая только рассеивает потоки энергии. В настоящее время целесообразно применять, конечно, метод двойственных сетей, который тогда еще не был разработан. Первоначальной целью было применение диакоптики Крона для расчета модели по частям для снижения времени расчета. Это удалось сделать, модельные расчеты показали резкое снижение объема и времени вычислений, однако до практической реализации дело не дошло в связи с закрытостью данных.

Расчет баланса по частям стал первым этапом применения тензорного метода и диакоптики в экономике. Построение модели потребовало применить двойственность и все этапы тензорной методологии, т.е. приведение уравнений межотраслевого баланса к тензорному виду, установление аналогий между понятиями баланса продуктов и потоков в сети. Затем получение уравнений сетевой модели, которые описывают потоки продуктов; расчет задачи баланса сетевыми методами, в том числе по частям, используя параллельные вычисления; анализ соответствия понятий исходной задачи и сетевой модели.

Сама задача межотраслевого баланса проста: n отраслей производят продукты с валовым выпуском Xa (a = 1,...,n), удовлетворяя план (спрос) ya и поставки xab

Коэффициенты прямых затрат aab и bab показывают, сколько надо взять продукции отрасли или ресурса a для производства единицы продукции отрасли b, и определяют потоки поставок: xab = aab Xb и ресурсов: rgb = bgb Xb. Совокупность коэффициентов прямых затрат, включая собственное потребление, составляет экономическую матрицу I - A. Обращение матрицы I - A дает решение задачи, которое представляют в виде суммы степенного ряда:

(I - A)-1 = I + A + A2 + A3 +...

Тензорная форма уравнений межотраслевого баланса включает в себя описание баланса всех потоков продуктов на выходе отраслей (уравнения баланса валовых выпусков, межотраслевых поставок и спроса) и на входе отраслей.

Пример матрицы I - A для данных отраслей, где выделены подматрицы, соответствующие подсистемам, которые на рис. 1 разделены кривой линией:

   

1

2

3

4

5

 

1

1-0,1

-0,15

     
 

2

-0,2

1-0,2

0,06

   

I - A =

3

   

1-0,1

0,1

 
 

4

 

0,24

0,08

1-0,3

0,17

 

5

     

0,12

1-0,1

Преобразованием координат является изменение структуры хозяйственных связей производства и потребления, структуры спроса, структуры источников снабжения ресурсами. На рис. 1 дан пример пяти отраслей (вертикальные линии), связанных поставками (наклонные линии), сверху поступают ресурсы, стрелки внизу показывают воздействие спроса (плана). Например, это могут быть пять базовых отраслей: промышленность, сельское хозяйство, строительство, транспорт, розничная торговля.

 

Рис. 1. Пример сетевой структуры задачи межотраслевого баланса для 5 отраслей

Уравнения задачи баланса позволяет привести к тензорному виду дополнительное соотношение – баланс потоков на входе отраслей; оно не используется обычными методами. В терминах коэффициентов прямых затрат оно принимает вид: S aab + S bab = 1.

Потоки продуктов при изменении структуры сети (системы) при изменении хозяйственных связей, заданных матрицей преобразования Aaa, принимают тензорные формулы преобразования:

Аналогии величин баланса и величин сети. Пути потоков продуктов – отрасли-производства, поставки между отраслями, поступления ресурсов – представлены ветвями сети. Спрос на выходе отраслей ya – внешние источники, представляет вектор внешнего воздействия (в электрической сети – узловой ток). Коэффициенты прямых затрат поставок (включая потребление отраслями собственной продукции) и ресурсов aab и bgb - в сети им соответствуют коэффициенты метрики, или проводимости. Потоки валовых выпусков, поставок и ресурсов X a, xab, rgb - отклики, которым в сети соответствуют комбинации откликов узловых токов и откликов контурных токов.

Существует различие воздействия на цепь узлового тока, который порождает токи-отклики в ветвях цепи и спроса (плана) на отрасли, который порождает отклики в виде валовых выпусков и поставок в другие отрасли. Дело в том, что токи на ветвях цепи меньше воздействия на входе (теорема Волавера в теории графов о неусилении мощности при наложении на цепь связей). Выпуск потоков продуктов отраслями превосходит воздействия на входе (спрос), поскольку есть межотраслевые поставки. Задача решается включением двойственных величин источников напряжения в замкнутых путях.

Соответствие между задачей баланса и сетью обеспечивают двойственные источники напряжения в замкнутых путях. Структура сети такова, что эти источники достаточно расположить в ветвях поставок. Величину этих источников определяет итерационный процесс перехода от несвязанных отраслей к связанным, поставляющим продукты друг другу в процессе производства. Именно включение двойственных величин обеспечивает представление процессов в живой экономической системе с помощью величин в неживой электрической цепи. Двойственные отклики замкнутых и разомкнутых путей (контурные и узловые токи на ветвях) в совокупности представляют потоки продуктов в сетевой модели:

,

Уравнения поведения сетевой модели, представляющей систему производств, получаются как выражение потоков продуктов (товаров и услуг) комбинацией к контравариантных компонент вектора потока в подпространствах замкнутых путей и разомкнутых путей.

Расчет по частям. На основе модели построен алгоритм расчета балансовой задачи по частям, что позволило снизить время плановых расчетов. Для этого сетевая модель делится на части, выделяются матрицы подсистем в экономической матрице (I - A). Пример разделения на подсети в соответствии с кривой линией на рис. 1, и экономических матриц для подсистем представлен на рис. 2. Матрица подсети соединений обозначена (I–A)3.

 

 

 

Рис. 2. Разделение сетевой модели баланса на подсети, матрицы подсетей

Вычислительные эксперименты с моделью межотраслевого баланса проводились в начале 80-х годов в НИИ Автоматической аппаратуры. Было проведено более 600 расчетов вариантов разделения на части сетевой модели, которая содержала от 20 до 250 отраслей.

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 3. Пример изменения времени расчета межотраслевого баланса в зависимости от количества (размера) подсистем на которые разделена сетевая модель

Результаты показали, что при расчете сети по частям время расчета сокращается пропорционально росту числа отраслей. Т.е., чем больше размерность задачи, тем больше экономия времени и объемов вычислений. Сегодня даже не это главное.

Второй этап. Модель затраты-выпуск не позволяет реально рассчитать производство и потребление при заметном изменении цен, при колебаниях на фондовых рынках, а также при ускорении научно-технического прогресса. При изменении цен зависимости между затратами и выпуском меняются не линейно. Фондовые рынки вызывают переброску ресурсов из одних отраслей в другие, следуя НТП, либо проводимой политике. Например, рекламная кампания в США под флагом роста “новой экономики” без кризисов позволила собрать большие активы со всего мира.

Построенная сетевая модель позволяет сделать следующий шаг по анализу взаимодействия выпуска продукции и финансовых потоков. Модель представляет потоки продуктов комбинацией контравариантных контурных и узловых токов. Вместе с тем модель также генерирует не только источники напряжения на ветвях поставок, но и напряжения, которые являются откликами на ветвях сети. Эти ковариантные величины соответствуют пропорциям распределения потоков денежных средств в экономической системе. Именно данные потоки обеспечивают оборот товаров и услуг, т.е. обслуживают реальный сектор.

Ковариантные величины (напряжения) являются поперечными, т.е. измеряются как разность значений в двух точках измерения, таким образом, этому соответствует назначение масштаба измерения, подобно курсу валюты. Энергетическое соответствие курсов разных валют можно использовать для оценки реальных финансовых воздействий в секторах реального производства разных стран и регионов, а также их взаимное влияние друг на друга. Это дает инструмент для мониторинга, анализа и прогноза изменений финансовых воздействий (например, информационно-финансовых атак, подобных операции Сороса, а точнее США, против фунта в начале 90-тых годов) на состояние экономики отдельных стран, групп стран и мировой экономики в целом.

Контравариантные токи – потоки продуктов и ковариантные напряжения – финансовые потоки в двойственной конструкции сети составляют единое целое. Они описывают процесс прохождения солнечной энергии через хозяйственную систему производств. В результате получается механизм отображения в математических понятиях исторического закона увеличения потока энергии на каждого человека. Но это отображение потребовало другой математики. А именно геометрии двойственных сетей, которая одновременно отображает процессы и структуру, т.е. соединяет в одном аппарате структуру и метрику. Таким образом, даже на этом уровне значение построенной модели выходит за рамки первоначальной задачи сокращения времени и объемов вычислений.

Третий этап. Расчет влияния финансовых потоков фондовых рынков не имеет аналогий в рамках рассмотренной модели. Для решения таких задач, приобретающих все большую важность в современных условиях, необходимо применять электромагнитные аналогии.

Как известно, электромагнитное поле имеет магнитную и электрическую составляющие. Они составляют единое целое, но отличаются по структуре своих потоков. Силовые линии магнитного потока всегда замкнутые и не имеют начала и конца (магнитных зарядов не обнаружено). Электрическое поле начинается и заканчивается на электрических зарядах.

Эта физическая картина электромагнитного поля имеет аналогии в экономике. Потоки товаров и услуг начинаются и заканчиваются на окружающей среде. Поток солнечной энергии обеспечивает добычу энергетических и материальных ресурсов и на этой основе производство товаров и услуг. Пройдя цикл в системе (сети) производства и потребления, потоки продуктов завершают свой путь в виде отходов, которые “потребляет” природная среда. В этом отношении материальные и энергетические потоки ведут себя аналогично потокам электрического поля. Потоки денежных средств в экономической системе играют роль воздействий и двигаются навстречу потокам продуктов (товаров и услуг). Потоки денежных средств являются замкнутыми в самой экономической системе; они не имеют выхода в природную среду, которая, как известно, производит энергетические и материальные ресурсы не за деньги. В этом отношении потоки денежных средств аналогичны магнитным потокам.

Необходимо использовать электромагнитные аналогии замкнутых и разомкнутых потоков в экономической системе как потоки продуктов (товаров и услуг) в отраслях как электрические величины и потоки денежных средств как магнитные величины. Фондовые рынки и электромагнитные аналогии могут рассматриваться в рамках электромагнитной модели Вселенной Игоря Петровича Копылова.

Для реального применения любых моделей необходимо иметь методики преобразования бухгалтерской и статистической отчетности в аналитические показатели, соответствующие реальным измеримым величинам экономической системы. Примером разработки и применения такой методики является система “Банки и финансы”, созданная под руководством автора и успешно функционирующая в информационном агентстве “Мобиле”. Система предназначена для повышения прозрачности банковской системы России (без нарушения коммерческих интересов банков) и основана на финансовой отчетности – балансов банков, которые доступны для потенциальных клиентов банков в рамках действующего законодательства. База данных, накопленная с 1995 г. (банки считались закрытой сферой хозяйственной деятельности), имеет в настоящее время объем свыше 10 Гбайт.

Методика анализа деятельности банков Агентства “Мобиле” основана на сетевой модели потоков денежных средств, которые рассматриваются как объективно существующие величины, измеримые в действующей системе отчетности. Потоки денежных средств образуют в банке пути-циклы: привлекаемые средства, размещаемые средства. Существуют резервы на возможные потери по ссудам и ценным бумагам, фонды, материальные активы и т.д. Привлеченные средства поступают в банк (и банк платит за пользование ресурсами), размещаются в активы (и банк получает плату, например, проценты по ссудам). Разность между доходами и расходами составляет прибыль (или убытки).

Расчет показателей основан на действующей системе бухгалтерской отчетности, которая играет роль “системы координат” для отражения потоков денежных средств. В данном случае такой системой координат является План счетов бухгалтерского учета в кредитных организациях России, введенный в действие с 1.01.1998.

Основной задачей методики стала группировка счетов в однородные показатели денежных средств, представляющие измеримые величины, которые в наименьшей степени зависят от системы финансовой отчетности, используемой в настоящее время. В этом смысле указанные показатели аналогичны тензорам в геометрии, реальная величина которых не зависит от системы координат, в которой представлены их компоненты. Прибыли (убытки) за отдельные месяцы, а также их динамика показывают эффективность работы средств банка.

Результаты применения тензорной методики представлены в бюллетене “Банки и финансы”. Электронная версия представляет расширенный состав показателей за 12 месяцев, обеспечивая поиск и группировку банков по 90 показателям, вывод динамики показателей в графическом виде. Информационно-аналитическая система “Банки и финансы” разработана в 2001 году по заказу Банка России. Система содержит показатели банков России, начиная с 1.01.1998, ежемесячно пополняется новыми данными и обеспечивает анализ состояния банков и групп банков на протяжении заданного периода времени. Представленная информация позволяет объективно оценивать динамику состояния конкретных банков, региональных банковских подсистем, банковской системы России в целом.

Литература

Крон Г. Тензорный анализ сетей: Пер. с англ. /Под ред. Л.Т. Кузина, П.Г. Кузнецова. М.: Сов. Радио, 1978. - 720 с.

Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем. М.: Радио и связь, 1985. – 152 с.

Петров А.Е. Тензорный метод двойственных сетей. Диссертации д.т.н. М.: МИФИ, 1998. Firestone F.A. A new analogy between mechanical and electrical systems. - J. Acoustic Soc., 1933, v. 25, N 2, p. 39-47.

Physical Structure in Systems Theory/Ed. by J. J. Van Dixhoorn and F. J. Evans. - London, N. Y.: Academic Press, 1974. - 306 p.

Математическая энциклопедия, т. 3, стб. 1021-1023, 1982.

 

Труды 2го международного симпозиума памяти П.Г.Кузнецова, 2002г

Секция Принципы физической экономики

***

Версия для печати [Версия для печати]

Гостевые комментарии: [Просмотреть комментарии (2)]     [Добавить комментарий]



Copyright (c) Альманах "Восток"

Главная страница